《WIRED》杂志将黎曼猜想列为人类未解之迷

生命从何时开始？宇宙究竟由什么物质组成？为什么我们需要睡眠？科学已经有了飞跃式发展，但直到今天，我们仍有许多难题没有找到答案。2007年2月出版的美国《连线》杂志给出了部分未解之谜，其中包括“数学家可以证明黎曼猜想吗？”

The Big Questions：What We Don't know

What is the universe made of? Why can't humans regenerate lost body parts? How many licks does it take to get to the center of a Tootsie Pop? The Daily Show's John Hodgman and a who's-who of science thinkers explore dozens of life's mysteries, big and small.

数学家可以证明黎曼猜想吗？

20世纪早期，德国数学家希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？现在100多年过去了，这个问题至今仍没答案。黎曼猜想将在所谓的黎曼zeta函数基础上对零分配。该猜想已被美国克雷数学研究所列为世界黄金问题之一，能证明或证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。

Can mathematicians prove the Riemann hypothesis?

In the early 1900s, German mathematician David Hilbert said that if he awakened after 1,000 years of sleep, the first question he’d ask would be: Has the Riemann hypothesis been proven?

It’s been only 100 years, but the answer so far is no. Put forward by Bernhard Riemann in 1859, the hypothesis would establish the distribution of zeroes on something called the Riemann zeta function. That, in turn, correlates to the intervals between prime numbers.

Prime numbers (numbers that can be divided only by 1 and themselves: 2, 3, 5, et cetera) are the building blocks of mathematics, because all other numbers can be arrived at by multiplying them together (e.g., 150 = 2 x 3 x 5 x 5). Understanding the primes sheds light on the entire landscape of numbers, and the greatest mystery concerning primes is their distribution. Sometimes primes are neighbors (342,047 and 342,049). Other times a prime is followed by desert of nonprimes before the next one pops up (396,733 and 396,833).

Making sense of this bizarre arrangement would offer a base from which to solve numerous other long-standing math problems and could affect related fields, like quantum physics. Until they know whether it’s true, though, mathematicians can’t use Riemann. Princeton mathematician Peter Sarnak put it this way: “Right now, when we tackle problems without knowing the truth of the Riemann hypothesis, it’s as if we have a screwdriver. But when we have it, it’ll be more like a bulldozer.” Which is why the Riemann hypothesis has been named one of the Clay Millennium prize problems: Whoever proves (or disproves) it gets $1 million. - Simon Singh, author of Fermat’s Enigma

相关内容：人类还有什么未解之谜？科学家给出部分答案
（转自《环球时报》，徐颖 杨晓军）

１　地球的核心是什么？What’s at Earth’s Core?
地心距离地球表面还有4000英里（1英里约合1．61公里），那里有一个月球那么大的固体铁球。我们都生活在厚达1800英里的岩石层上，这些岩石层形成了地球的外壳和地表的覆盖物。那么，地心和地壳之间有什么物质呢？是一片岩浆，但科学家不能确定这片岩浆具体由何种物质组成，以及会对周围环境产生怎样的影响。

２　时间是持续不断的吗？Is time an illusion?
柏拉图认为时间是持续不断的。而爱因斯坦认为时间只是另一种尺度，是除了上下、左右、前后之外的第四维。爱因斯坦的时空概念理论上行得通，但实际却很难办到。因为我们只能沿着时间轴朝一个方向走。最终，一定会有人能够得出正确的结论，只不过是时间问题。

３　生命从何而来？ Where did life come from?
“物竞天择，适者生存”，自然选择学说解释了生物体为了适应环境的改变，是如何进化来的。但达尔文的理论却不能解释第一个生物体是如何产生的。是没有任何生命迹象的化合物最初创造了生命吗？第一个生命体是如何被装配起来的？大自然连一点点微小的暗示都没有给出。

４　什么导致了冰河时期？What causes ice ages?
小规模的冰河时期每2—4万年发生一次，大规模的每10万年发生一次。科学家认为，地球轨道的不规则性改变了它吸收能量的多少，导致地球突然冷却。但研究表明，地球轨道的不规则性对地球吸收太阳能的影响只占其中的1%，这个微小的影响是如何使地球的气候产生重大突变呢？

５　为什么要解码DNA？ What is the purpose of noncoding DNA?
一个典型的人类细胞中含有6英尺(1英尺约合0.3米)长的DNA，但只有1英寸（1英寸约合2.54厘米）的DNA携有需要被用来制造蛋白质的密码，其他部分究竟是什么呢？诺贝尔奖获得者布瑞纳研究后发现，它们是废品。但生物学家认为这些所谓的废品DNA中也包含有“财富”。

６　森林如何影响全球变暖？ Will forests slow global warming or speed it up?
每个人都知道森林有助于环境的改善。树木在生长的过程中会吸收导致全球变暖的罪魁祸首二氧化碳，但即便这样，地球仍在不断升温。于是产生了这样一个矛盾——未来，森林并不能减缓气候的变化，但随着森林不断遭受毁坏，全球变暖将更严峻。

７　大脑如何计算运动？ How does the brain calculate movement?
大脑在处理运动规则方面速度较慢，将手置于一个热的盘子上，它需要数个毫秒才能感觉到热，那么大脑是如何在短时间内同时获得视觉数据，产生指令身体动作的信息，计算出一个精确的轨道使蜥蜴的舌头瞬间捕捉到苍蝇，使我们的手迅速抓住正在下落的玻璃杯呢？

８　为什么地球两极会换位？ Why do the poles reverse?
大约80万年前，指南针会指向南方，早些时期，它会指向北方。当地球自转时，内核中的液体金属搅拌在一起，产生一个电磁场。自转导致的内核运动方向的改变会改变这个电磁场的两极。一旦异位过程开始，地球需要7000年时间才能完成这一南北颠倒的重大改变。在100万年中这种情况平均会发生2—3次，但没有人知道它是如何实现的。

９　黑洞信息去哪里了？What happens to information in a black hole?
黑洞里面的吸引力非常强大，任何物质或能量都不能逃脱黑洞的吸引。但物理学家霍金却说某种东西可以逃脱黑洞的引力，这种东西就是“霍金辐射”这样的随机粒子。如果黑洞可以把具有固定结构的物质吃掉的话，那么黑洞就会充满各种信息然后发出不确定的各种各样的噪声，那么这些信息去哪里了？

１０　我们为什么不能预报天气? Why can’t we predict the weather?
气象学家劳伦兹在进行一项计算机天气模拟时，决定对其中的一个参量采用四舍五入进行计算。这个小小的变化完全改变了天气模型，这成为后来著名的“蝴蝶效应”。劳伦兹的这种做法启发气象学家把尽可能精确的数据输入计算机模型以扩大他们的预测区间。但极为精确的数据也不能使我们获得精确的长期性预测结果。气候学家还需要了解大气和海洋的交互性影响等多种影响天气的因素。因此，预报数十年后或数世纪后的天气，基本上是不可能的。

１１　为什么疾病会流行？ Why do some diseases turn into pandemics?
一种流行性疾病实际上只是一种病原体“鸿运当头”的外在表现。细菌如何实现感染取决于它们是怎样工作的以及人类抵抗能力如何。但没有人知道如何预测那些细菌何时在人群中传播，所以不要忘记经常洗手。

１２　重力是如何产生的？ What causes gravity?
牛顿首先发现了万有引力的基本性质。他向世人揭开了天体和人类不会从地球上掉下去的奥秘。然而我们只是理解万有引力现象，而对其产生原因的研究几乎没有任何进展。

１３　为什么我们的器官不能再生？Why can’t we regrow body parts?
拿菜刀从你手指上切下去，这根手指就会永远跟你说再见。然而把蝾螈的一条腿砍下，它却会自然地长出一条新腿。我们会因为指甲受到损伤而大惊小怪，而动物器官的重生过程却是那么自然。科学家想知道为什么“无所不能”的人类却不能做到这一点。

14 数学家可以证明黎曼猜想吗？Can mathematicians prove the Riemann hypothesis?
20世纪早期，德国数学家希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？现在100多年过去了，这个问题至今仍没答案。黎曼猜想将在所谓的黎曼zeta函数基础上对零分配。该猜想已被美国克雷数学研究所列为世界黄金问题之一，能证明或证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。

１５为什么我们会死亡？ Why do we die when we do?
当物理学家被问到事物为何死亡这种问题时，他们会毫不犹豫地回答说这符合热力学第二定律。任何事物，无论它是矿物质、动植物，还是一辆汽车最终都会分解消亡。这种现象发生在人类身上就是使人变老。变老的原因可能因为DNA遭到了损害，也可能是因为染色体端粒发生萎缩。若想知道生命何时终结，还要求助于生态学家，但他们只是粗略预测，不能准确地预测一个人的死亡时间。

其它未解之谜包括：
What happened to the Neanderthals?
Why do we sleep?
How does a fertilized egg become a human?
How does the brain produce consciousness?
How can observation affect the outcome of an experiment?
How do entangled particles communicate?
Why is fundamental physics so messy?
Why do placebos work?
What is the universe made of?
How doth human language evolve?
Why don’t we understand turbulence?
Is the universe actually made of information?
Why do we still have big questions?
（转自《环球时报》，徐颖 杨晓军）

纪念大数学家欧拉诞辰300周年专题

他停止了生命和计算———纪念大数学家欧拉诞辰300周年
【来源：南方周末】
如果说17世纪是牛顿的世纪，那么18世纪就属于欧拉。彼得大帝和叶卡捷琳娜的俄罗斯，不仅开始了赞助艺术的传统，也从异国聘请了欧拉和贝努利兄弟那样的科学天才。不少数学史家把欧拉与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家。
在人类文明史上，不乏失明的歌唱者，从古代希腊的荷马到中世纪波斯的鲁达基，从近代英国的弥尔顿到上世纪阿根廷的博尔赫斯。可是，在科学家中这类人物极为罕见。如同创作不朽旋律的贝多芬双耳先后失聪一样，从事数学研究的欧拉也在晚年双目失明，但这丝毫不减少他们的创造力。
小国里的数学巨匠
在一个小国家里诞生一位科学巨匠，这在世界史上并不多见。瑞士数学家、物理学家莱昂纳尔·欧拉便是其中最出色的一位，虽然他成年以后一直生活在两座遥远的异国城市：彼得堡和柏林，他的肖像画却出现在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍流通欧洲的纸币上仅有的两位科学家。1707年4月15日，欧拉出生在瑞士西北部邻近法国和德国的巴塞尔，这座通用法语的城市至今人口仍不足20万，却拥有瑞士最早的学府———巴塞尔大学(1460)，莱茵河蜿蜒着穿过她的中心。德国哲学家尼采年轻时曾在巴塞尔大学担任过十年的古典文献学教授，在那里完成了他的代表作《悲剧的诞生》，并与在近郊安度晚年的音乐家瓦格纳成为莫逆之交。
让我们先把时光推进到欧拉20岁那年，即1727年。对欧拉来说这是一个关键性的年份，那一年牛顿在伦敦去世，那一年欧拉开始了学术生涯，他首次参加了巴黎科学院的有奖竞赛———在船上安置桅杆。这一传统的竞赛活动起始于1721年，吸引并激励了欧洲各国难以计数的年轻人，它对科学的贡献超过了诺贝尔奖的设立。不幸而又幸运的是，欧拉落选了，加上此后求职母校未果，当年他便动身去了俄国，受聘于彼得堡科学院。可是，就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天(5月17日)，这个国家的女皇叶卡捷琳娜一世去世了。作为俄国最伟大的君王———彼得大帝的情妇和妻子，这位出身卑微的立陶宛女子在许多方面都表现得非常开明，在她仅仅两年多的在位时间里，实现了丈夫建立科学院的愿望。
牧师家庭出身的欧拉之所以选择后来的科学道路，不能不说是与当地一个叫贝努利的数学世家有关。贝努利家族原先居住在比利时的港口城市安特卫普(当时隶属荷兰)，因为遭受宗教迫害而于16世纪末逃难到内陆的法兰克福，尔后又迁至瑞士，在巴塞尔安顿下来。这个家族的三代人中出现了八位极有成就的数学家，其中最年长的一位雅各布在巴塞尔大学做了数学教授，并成为欧拉父亲的老师。尽管老欧拉颇具数学才华，却差点犯下一个错误，在教会儿子数学的同时又要求他继承自己乡村牧师的职位。事实上，在那个年代里对非显贵家庭出身的西方年轻人来说，牧师、医生和律师不失为安身立命的三个好职业。
于是小欧拉进了巴塞尔大学学习神学和希伯来语，但他的数学才能很快引起了雅各布的弟弟约翰的注意，约翰在雅各布去世后继承了兄长的职位，他的两个儿子尼古拉和丹尼尔也与欧拉结为挚友(兄弟俩均为数学家)。17岁那年，欧拉获得哲学硕士学位，同时也面临对未来职业的抉择，老欧拉仍固执己见，幸亏诸位贝努利前辈的热情劝告和担保，做父亲的才最后放弃自己的主张，数学王国里才不至于失去这样一位伟大的创造者。尼古拉和丹尼尔后来应聘到新成立的彼得堡科学院，正是在他们兄弟的举荐之下，欧拉告别了父老乡亲，从此踏上了不归的数学之路。虽然欧拉没有做成牧师，但父亲笃信的加尔文教赋予了他一颗温厚、仁慈之心，他毕生为人都十分谦逊。
欧拉被公认为是纯粹数学的奠基人之一，也是历史上最卓越、最多产的科学家之一，被同代数学家视为“分析的化身”，此外他在数论、几何学、拓扑学、力学诸方面均有重大的原创性贡献，并把成果广泛应用到物理学和工程技术领域。在我看来，欧拉的一个无与伦比的优点在于他的精细和耐心，这使得以他名字命名的数学发现无处不在，并且总是处在各个领域引人瞩目的位置。例如，欧拉函数和欧拉定理(数论)、欧拉常数(微积分)、欧拉公式(复变函数)、欧拉线和欧拉圆(几何学)、欧拉图(图论)、欧拉示性数(拓扑学)、欧拉角(动力学)、欧拉方程式(流体力学)等等。
与女皇和国王相处
正如拿破仑是结交数学家最多的君王，与君王打交道最多的数学家是欧拉。直到18世纪，欧洲的大学依然不是主要的学术研究中心，不过比起物理学等近代科学分支来，数学因为与古典传统较为接近而受到重视。可是，尽管微积分学诞生已经一个世纪，但大学教授的主要精力仍在对付初等数学，他们很少花精力做前沿研究。与17世纪法国那些伟大的业余爱好者不同，真正的学者有了自己的靠山和赞助人，那便是专业的科学研究机构。由于莱布尼兹的大力倡导，在有远见的统治者的支持下，柏林科学院和彼得堡科学院相继成立，加上此前成立的意大利(山猫)科学院、英国皇家学会和法国皇家科学院(梅森学院)，数学史上最活跃的时期已经来临。
可是，欧拉初到彼得堡的日子，处境十分艰难。叶卡捷琳娜一世死后，权力旁落到一伙粗鲁残暴的家伙手里，甚至年幼的沙皇也在能够行使自己的职权以前死去。那些当权者把科学院及其研究者看成是可有可无的摆设，他们甚至考虑取消它，遣返所有的外籍人员。也算是不幸中的大幸，贝努利兄弟原先推荐欧拉去的是医学部，因为只有那儿有空缺，为此他突击学习了生理学并在巴塞尔大学旁听了医学讲座，科学院混乱的管理正好给了欧拉机会，他偷偷溜进了数学部。那以后的六年时间里，欧拉埋头于自己的研究，完全沉浸在数学王国，直到他的引路人之一丹尼尔·贝努利(尼古拉·贝努利在欧拉抵达前一年溺水身亡)决定离开俄国，返回自己的祖国。
在丹尼尔回到瑞士以后，欧拉接替了他在彼得堡科学院的数学教授职位，那年欧拉26岁，准备在俄罗斯安家了，新娘是彼得大帝西游时带回来的画师的女儿，也是欧拉的瑞士同胞。那时俄国早有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊万诺夫娜，虽说在安娜的情夫的间接统治下俄罗斯经受了历史上最血腥的恐怖时期，但科学院的境况并没有变得更糟，欧拉这样的数学家对当权者无害。欧拉喜欢孩子，他的两任妻子(第二个妻子是第一个妻子的同父异母的妹妹)先后生下了13个孩子，欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏，他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。
1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓特列大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。传说王太后很喜欢老实持重的欧拉，有一次她故意逗他说话，但是欧拉的回答总是很简洁，“是”或者“不是”。“为什么你不愿意跟我多说话呢？”太后问。“太后，我刚从那样一个国家来，在那里你要是说多话，就会被吊死。”相比之下，欧拉与普鲁士国王相处并不愉快，因为国王喜欢溜须拍马的大臣。他之所以支持数学只是感到那是一种责任，但他从内心里讨厌这门学问，因为他自己的数学很蹩脚，这方面他无法与法兰西皇帝拿破仑相比，后者自称是个几何学家，并与同时代所有的巴黎数学家都交上了朋友。
在很多时候，欧拉代理彼得堡科学院院长的职务，他在柏林不受欢迎的另一个原因是，他对腓特列大帝津津乐道的哲学问题一无所知。有一次，法国启蒙主义思想家伏尔泰来访，在竭尽所能取悦了一番国王之后，他又以一套近乎玄学的语汇拿欧拉逗乐。忠厚老实的欧拉耐着性子接受了这一切，但国王却感觉自己丢了面子，他决心物色一位能说会道的数学家来领导他的科学院，结果法国人达朗贝尔被邀请到了柏林。比欧拉年轻10岁的达朗贝尔是偏微分方程的开拓者，他最早写出了动力学原理的著作，此外，他又是著名的《百科全书，或科学、艺术和工艺详解词典》的副主编(主编是哲学家狄德罗)。
这是世界上第一部影响巨大的百科全书，网罗了一大批启蒙主义思想家，并在编撰过程形成了一个被后人称之为“百科全书”的哲学流派。显而易见，这样一位全才的人物足以让腓特列大帝的虚荣心得到满足，没想到的是，达朗贝尔却是一位头脑清醒、判断力精确的人，虽然他和欧拉在学术上有过一些不快。这位法国客人十分坦率地告诉普鲁士国王，把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是，这不仅没有让自负的国王改变对欧拉的看法，反而变本加厉使得欧拉更难以忍受。为了自己子女的前途，欧拉只好打点行装，离开了生活了25年之久的柏林，再次回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和儿孙们也一同返回。
此时俄罗斯又有了一位新女皇，即叶卡捷琳娜二世，她本是德意志亲王的女儿，因为嫁给彼得大帝的外孙来到俄国，有机会接近并攫取王位。叶卡捷琳娜二世在位的34年里，继承了彼得大帝未竟的事业，领导俄国全面参与欧洲的政治和文化生活，制定法典并厉行改革，同时夺取了波兰和克里米亚的大部分领土，故又被称作叶卡捷琳娜大帝。在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一个厨子。恼羞成怒的普鲁士国王只得写信给法国数学家拉格朗日，“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。”显而易见，他对欧拉的离任耿耿于怀。
孜孜不倦的失明者
在人类文明史上，不乏失明的歌唱者，从古代希腊的荷马到中世纪波斯的鲁达基，从近代英国的弥尔顿到上世纪阿根廷的博尔赫斯。可是，在科学家中这类人物极为罕见。如同创作不朽旋律的贝多芬双耳先后失聪一样，从事数学研究的欧拉也在晚年双目失明，但这丝毫不减少他们的创造力。贝多芬一生写作了九部交响曲、五部钢琴协奏曲、十部钢琴和小提琴协奏曲，还有难以计数的钢琴奏鸣曲、弦乐四重奏、声乐和歌剧作品。而欧拉完成了800多篇(部)论文和著作，其中58％是数学方面的，物理学－力学和天文学各占了28％和11％，其余3％是关于航海学和建筑学的。从1907年欧拉诞辰200周年开始，瑞士政府着令有关部门编辑《欧拉全集》，那是72卷大四开本的巨著，至今尚未完成。
必须指出的是，欧拉的失明并非由于家族的遗传。第一次灾难降临时欧拉只有28岁，为了赢得一项天文学的巴黎大奖，他连续工作了三天三夜，把这个难题给解决了，而当时其他几位主要数学家都认为那需要数个月的时间。结果引发了一场疾病，欧拉从此失去了右眼的视力，这一点我们从他本人留下来的几幅肖像画中也可以看出。欧拉的左眼患上白内障是在他第二次居留俄国期间，那时他快60岁了。虽然欧拉的通信者如法国数学家拉格朗日、达朗贝尔等表示了深深的忧虑，他本人倒是能够泰然处之。在完全失明之前，他努力尝试用粉笔把公式写在大石板上，然后让儿子或秘书抄下来，他自己再口述对公式的说明和其他文字。这样一来，他写作论文的效率非但未有降低，反而提高了。
与许多失明者一样，欧拉有着非凡的记忆力。除了几乎把那个时代的全部数学结果铭记于心以外，他还长于心算。更让人不可思议的是，欧拉能背出古罗马大诗人维吉尔的12卷史诗《埃涅阿斯纪》每一页的首句和末句。这部史诗描述了特洛伊沦陷以后王子埃涅阿斯历尽艰辛，在异国他乡(罗马)重新建立居留地的故事，其优美智慧的诗句、结构和韵律达到了尽善尽美的地步，以至于但丁在《神曲》里让维吉尔引领他到达了天堂。或许，欧拉从中获得了某种共鸣，他的数学发明总是以优美的形式出现。晚年当被友人问起在哪个地方度过的时光最美好时，他不假思索地回答说是彼得堡。在欧拉完全失明的17年间，最让他得意的工作是发现月球的运动规律，那曾是惟一使牛顿头痛的问题，被欧拉通过复杂的分析和心算推导出来了。
除了失明以外，欧拉一生还遭遇了许多不幸，8个孩子先后夭折，晚年的一场大火几乎夺走了他的生命和手稿，幸亏瑞士仆人的奋力抢救，但他的房子连同藏书全被烧毁了。叶卡捷琳娜二世获悉后马上补偿了全部经济损失，欧拉重又投入了工作。值得一提的是，在安娜和叶卡捷琳娜二世之间，俄国还有一位女皇伊丽莎白，那便是彼得大帝的女儿。她在位的20年间，欧拉一直生活在柏林，尽管如此，俄国方面照付给他院士津贴。也是在她在位期间，彼得堡科学院第一次有了本国院士———科学家兼诗人罗蒙诺索夫。有一年，俄罗斯军队入侵柏林远郊，欧拉的农场遭到了抢劫，女皇知道后加倍赔偿了他的损失。可以说，欧拉的一生得到了俄国四位女皇的垂青。
飞驰的船停住了
1783年9月18日，一个晴朗的秋日下午，欧拉像往常一样在石板上写着什么，那可能是在计算气球上升的轨迹。然后，他和家人一起吃晚饭，谈论着新近发现的天王星。那会儿，在德国中北部的不伦瑞克，一座离开柏林不到200公里的小城里，园丁的儿子高斯已年满6岁，充分显露出了数学神童的天赋。晚餐后，欧拉一边喝着茶，一边和小孙女玩耍，突然之间，烟斗从他手中掉了下来。他说了一句：“我死了”，随即“欧拉停止了生命和计算”。后面这句经常被数学史家引用的话出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口，他是大革命时期的急先锋，后来不幸死于狱中。不知为何，这句话使我联想起欧拉喜爱的维吉尔的诗句，“锚抛下去，飞驰的船停住了。”
每个人都有时代的局限性，在欧拉研究过的诸多难题中，有的尚未完全解决，例如天文学中的三体问题，即太阳、地球和月亮在相互引力下如何运动的问题，这个问题至今仍然存在。由于欧拉涉足的研究范围十分广泛，即使在他为之倾心的数学领域，仍有许多未解决的问题，例如毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题，这方面以欧拉的贡献最大；再如费尔马大定理，欧拉也有出色的贡献，但最终的解答由英国数学家怀尔斯在上个世纪末给出；又如哥德巴赫猜想，是欧拉和数学家哥德巴赫通信时提出来的，至今未有证实或否定。哥德巴赫的故乡在普鲁士的哥尼斯堡，诞生于这座城市的“七桥问题”是拓扑学的出发点，而把这个世俗问题抽象到数学高度的正是欧拉。
确切地说，欧拉是历史上最著名的宫廷数学家，他毕生往返于两个敌对的国度———俄罗斯和德意志之间，侍奉于不同的国王和皇后。一次，腓特烈大帝命令欧拉给他的侄女授课，他便动笔写下了一系列文笔优美的散文，后来变成畅销数十个国家的《给一位德国公主的信》，这是出自科学家手笔的科普著作的早期范本。尽管如此，由于欧拉既不像前辈牛顿那样建立起一门新科学(微积分学)和完整的力学体系，也不像后来的高斯那样建立起一个数学学派(哥廷根学派)，加上他来自小国家，他的公众知名度并不特别高。有许多时候，欧拉以一种谦逊之心默默做着别的大数学家不愿意做的工作，如同欧拉早年的导师约翰·贝努利给他信中所写的：“我在教高等分析的时候，他还是个孩子，而您正在将他带大成人。”谈到18世纪的数学家，尽管法国人更愿意抬高自己的同胞拉格朗日，欧拉仍被更多的同行推崇为最有成就的一位。还有不少数学史家把欧拉与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家。他们拥有一个共同点，即在创建纯粹理论的同时，还把自己发明的数学工具用以解决大量天文、物理和力学问题。他们不断地从实践中吸取营养，同时又绝不满足于解决具体问题；他们把宇宙看成是一个有机的整体，力图揭示出它的内在奥秘和规律。有着“法兰西的牛顿”之誉的拉普拉斯赞叹道，“学习欧拉吧，他是我们所有人的老师”；“数学王子”高斯也曾经说过，“对于欧拉工作的研究，将仍旧是数学人能上的最好的无可替代的学校。”从某种意义上讲，自从欧拉去世以后，数学再也不像从前那样美好了。